绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
A．
B．
C．
D．
2．已知集合
，则
中元素的个数为
A．9 B．8 C．5 D．4
3．函数
的图像大致为
4．已知向量
，
满足
，
，则
A．4 B．3 C．2 D．0
5．双曲线
的离心率为
，则其渐近线方程为
A．
B．
C．
D．
6．在
中，
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
7
．为计算
，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入
A．
B．
C．
D．
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如
．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A．
B．
C．
D．
9．在长方体
中，
，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
10．若
在
是减函数，则
的最大值是
A．
B．
C．
D．
11．已知
是定义域为
的奇函数，满足
．若
，则
A．
B．0 C．2 D．50
12．已知
，
是椭圆
的左、右焦点，
是
的左顶点，点
在过
且斜率为
的直线上，
为等腰三角形，
，则
的离心率为
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线
在点
处的切线方程为__________．
14．若
满足约束条件
则
的最大值为__________．
15．已知
，
，则
__________．
16．已知圆锥的顶点为
，母线
，
所成角的余弦值为
，
与圆锥底面所成角为45°，若
的面积为
，则该圆锥的侧面积为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．学科*网
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
记
为等差数列
的前
项和，已知
，
．
（1）求
的通项公式；
（2）求
，并求
的最小值．
18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额
（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了
与时间变量
的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为
）建立模型①：
；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为
）建立模型②：
．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（12分）
设抛物线
的焦点为
，过
且斜率为
的直线
与
交于
，
两点，
．
（1）求
的方程；学科&网
（2）求过点
，
且与
的准线相切的圆的方程．
20．（12分）
如图，在三棱锥
中，
，
，
为
的中点．
（1）证明：
平面
；
（2）若点
在棱
上，且二面角
为
，求
与平面
所成角的正弦值．
21．（12分）
已知函数
．
（1）若
，证明：当
时，
；
（2）若
在
只有一个零点，求
．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），直线
的参数方程为
（
为参数）．
（1）求
和
的直角坐标方程；
（2）若曲线
截直线
所得线段的中点坐标为
，求
的斜率．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设函数
．
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若
，求
的取值范围．
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
一、选择题
1．D 2．A 3．B 4．B 5．A 6．A
7．B 8．C 9．C 10．A 11．C 12．D
二、填空题
13．
14．9 15．
16．
三、解答题
17．解：
（1）设
的公差为d，由题意得
．
由
得d=2．
所以的通项公式为
．
（2）由（1）得
．
所以当n=4时，
取得最小值，最小值为−16．
18．解：
（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
(亿元)．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
(亿元)．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线
上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型
可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．学科*网
（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
19．解：
（1）由题意得
，l的方程为
．
设
，
由
得
．
，故
．
所以
．
由题设知
，解得
（舍去），
．
因此l的方程为
．
（2）由（1）得AB的中点坐标为
，所以AB的垂直平分线方程为
，即
．
设所求圆的圆心坐标为
，则
解得
或
因此所求圆的方程为
或
．
20．解：
（1）因为
，
为
的中点，所以
，且
．
连结
．因为
，所以
为等腰直角三角形，
且
，
．
由
知
．
由
知
平面
．
（2）如图，以
为坐标原点，
的方向为
轴正方向，建立空间直角坐标系
．
由已知得
取平面
的法向量
．
设
，则
．
设平面
的法向量为
．
由
得
，可取
，
所以
．
由已知可得
．
所以
．解得
（舍去），
．
所以
．
又
，所以
．
所以
与平面
所成角的正弦值为
．
21．解：
（1）当
时，
等价于
．
设函数
，则
．
当
时，
，所以
在
单调递减．
而
，故当
时，
，即
．
（2）设函数
．
在只有一个零点当且仅当
在只有一个零点．
（i）当
时，
，
没有零点；
（ii）当
时，
．
当
时，
；当
时，
．
所以在
单调递减，在
单调递增．
故
是在
的最小值．
①若
，即
，在没有零点；
②若
，即
，在只有一个零点；
③若
，即
，由于
，所以在
有一个零点，
由（1）知，当
时，
，所以
．
故
在
有一个零点，因此在有两个零点．
综上，
在只有一个零点时，．
22．解：
（1）曲线
的直角坐标方程为
．
当
时，
的直角坐标方程为
，
当
时，的直角坐标方程为
．
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于
的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点
在内，所以①有两个解，设为
，
，则
．
又由①得
，故
，于是直线的斜率
．
23．解：
（1）当
时，
可得
的解集为
．
（2）
等价于
．
而
，且当
时等号成立．故等价于
．
由可得
或
，所以
的取值范围是
．