双曲线的标准方程的求法
高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在
轴上，虚轴长为8，离心率为
；
（2）两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分．
（3）一条渐近线方程为
，且与椭圆
有相同的焦点；
（4）经过点
，且与双曲线
有共同的渐近线．
【参考答案】（1）
；（2）
或
；（3）
；（4）
．
【试题解析】（1）设所求双曲线的标准方程为
，则
，
，
从而
，
，代入
，得
，故双曲线的标准方程为．
（2）由两顶点间的距离是6得
，即
．
由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得
，即
，于是有
．
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为或．
（3）方法1：椭圆方程可化为
，焦点坐标为
，
故可设双曲线的方程为
，其渐近线方程为
，则
，
结合
，解得
，
，所以所求双曲线的标准方程为．
方法2：由于双曲线的一条渐近线方程为
，则另一条渐近线方程为
．
故可设双曲线的方程为
，即
，因为双曲线与椭圆共焦点，
所以
，解得
，所以所求双曲线的标准方程为．
（4）由题意可设所求双曲线方程为
，将点的坐标代入，得
，解得
，所以所求双曲线的标准方程为．
【解题必备】（1）一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合
及
列关于a，b的方程(组)，解方程(组)可得双曲线的标准方程．
（2）已知双曲线的渐近线方程，而不知焦点所在的坐标轴时，双曲线的方程有两个，为避免分类讨论，可设双曲线方程为
．
（3）若给出的条件是双曲线的渐近线、离心率，则需根据题意确定焦点所在的坐标轴，若不能确定，则双曲线的方程可能有两种形式，需分类讨论．同时应注意渐近线的方程是还是
．
（4）若已知两点坐标，利用Ax2＋By2＝1(AB＜0)可避免讨论．
1．已知双曲线的中心在原点，焦点在
轴上，焦距为
，点
在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的方程为
A．
B．
C．
D．
2．已知双曲线
与椭圆
的焦点重合，且双曲线的一条渐近线方程为
，则双曲线的方程为
A．
B．
C．
D．
3．（1）已知双曲线
的焦距为
，且双曲线的一条渐近线与直线
垂直，则该双曲线的方程为______________；
（2）过双曲线C：的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A．若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为______________．
1．【答案】B
【解析】设双曲线的方程为
，
由题意得
，即
，渐近线方程为
，
可得
，解得
，所以双曲线的方程为
，
故选B．
2．【答案】C
【解析】椭圆
的焦点坐标为
，
，
因为双曲线与椭圆的焦点重合，
所以可设双曲线的方程为
，且
①，
又双曲线的一条渐近线方程为，所以
②，
联立①②解得
，所以双曲线的方程为
．
故选C．
3．【答案】（1）
；（2）
．
【解析】（1）由题意得
，
故该双曲线的方程为．
（2）设双曲线的右焦点为F，则F(c，0)(其中
)，且
．
不妨将直线
代入双曲线的一条渐近线方程
，得
，则A(a，b)．
由
，得
，即
，所以
，
由
解得
，所以
，故所求双曲线的方程为．
